lunes, 20 de febrero de 2012

Sistema D'Hondt

Como ya he explicado anteriormente, este sistema es el "del divisor" con los números naturales como divisores.

Para aplicarlo manualmente se puede rellenar una tabla colocando en fila cada partido y debajo de cada uno sus votos, después se colocan en columna los números naturales desde 1 hasta el total de escaños a repartir (se podrían poner también los partidos en columna y los divisores en fila) y se rellenan las casillas con los votos de cada partido dividido entre el número correspondiente -por ejemplo, en la casilla 3B se pone el número de votos del partido B entre 3- para marcar después las casillas en que aparecen los números más grandes de todo el tablero (tantas casillas como escaños a repartir). Cada partido se lleva tantos escaños como casillas tenga marcadas en su columna (el partido A se lleva tantos escaños como casillas marcadas debajo de la casilla 'A'...)


Es evidente que el partido más votado se llevará siempre el primer escaño y por tanto se llevará alguno (es poco frecuente que un sistema electoral deje sin escaños al partido más votado) y no se llevará más de los que se repartan (por ello no hacen falta más columnas).

Puede observarse también que con este sistema un partido con más votos que otro no puede llevarse menos escaños (al tener cocientes mayores, razón que impedía también la paradoja de la población) y que los escaños repartidos pueden numerarse (el primer escaño es el que se adjudica si sólo se repartiera 1; el segundo es, el otro que se adjudica si sólo se repartieran 2... el n-ésimo es de todos los escaños adjudicados el que no estaba cuando se repartían sólo n-1), por esta misma razón no puede darse la paradoja de Alabama. También se observa de este tipo de reparto que un partido que no se lleva ningún escaño no puede influir sobre el reparto, por lo que no se da la paradoja de las alternativas irrelevantes.


Otro tipo de reparto manual, con el mismo resultado, consistiría en colocar debajo de cada partido su número de votos (de momento sólo escribimos la primera fila) y seleccionamos la casilla con el número más grande, después de asignarle un escaño al partido correspondiente, dividimos sus votos entre 2 y miramos cual es el número más grande de los que hay ahora (si es la casilla de otro partido dividimos sus votos entre 2, si es el mismo partido dividimos entre 3), repitiendo el proceso hasta asignar todos los escaños. Es una forma de ahorrarse divisiones innecesarias, ya que una cantidad dividida entre otra es más grande que si se divide esa misma cantidad entre un divisor mayor, es decir, si no te corresponde un escaño por tus votos tampoco lo tendrás por la mitad o un tercio de ellos. Para resolver los empates entre casillas suele adjudicarse el escaño al partido más votado, o en caso de nuevo empate, se sortea de algún modo.


 Hasta aquí, todas las propiedades analizadas son comunes a todos los sistemas "del divisor", pero el método D'Hondt tiene alguna más. La más importante de todas es que otorga a cada escaño el mismo valor en votos, veamoslo:

La última casilla marcada, es decir, la de menor número dentro de todas las marcadas contiene lo que se denomina "la cifra distribuidora", ese número es el coste del escaño (de tal modo que se repartan todos y no falte ninguno). Observese que ese número es mayor que los no marcados y es el menor de los marcados, por lo que si se le otorga a cada escaño ese valor en votos, cada partido obtendrá los escaños que aparecen en el gráfico (lo que implica que se reparten exactamente los que se querían repartir), siendo los restos inferiores al coste de escaño.

Podemos comprobarlo en el ejemplo concreto que hemos puesto: el coste del escaño es de 93.333 votos, B obtiene 3 escaños (porque la casilla B3 tiene un tercio de los votos obtenidos por B), A obtiene otros 3 (no puede tener 4 porque entonces la "cifra distribuidora" habría sido la de la casilla A4 y no la B3, sin embargo como A tiene más votos que B sus cocientes son más grandes y debe tener al menos 3 escaños), por último C tiene 1 escaño, al ser un número mayor que 93.333, pero no puede tener 2, por que entonces la mitad debería ser mayor que 93.333 y sería la "cifra distribuidora". Por último, 340.000 = 93.333*3 + 61.000, 280.000 = 93.333*3 + 1 y 160.000= 93.333*1 + 66.667; es decir, 3 escaños para A, 3 para B y 1 para C, quedando los restos (61.000, 1, 66.667) menores que la "cifra distribuidora" -ya que el resto siempre es menor que el divisor- y los restos de los que no lograron escaño (60.000, 15.000) deben ser también menores, porque de otro modo serían superiores a la "cifra distribuidora" y estarían remarcados.

Este hecho tiene mayor trascendencia de lo que parece, puesto que el algoritmo descrito para repartir escaños por el método D'Hondt es factible en todos los casos, implica que siempre hay una "cifra distribuidora", o sea, siempre se puede encontrar un precio por escaño (igual para todos los escaños) tal que se repartan todos los escaños (ni uno más ni uno menos) y de tal modo que los restos sean inferiores al precio del escaño.

Además, no puede existir otro reparto distinto de escaños que cumpla la misma propiedad (equitatividad del coste de los escaños), porque si existiera llegaríamos a una contradicción:

Un reparto distinto de los escaños quiere decir que al menos un partido tiene algún escaño menos que con el otro sistema (si nadie tiene un escaño menos tampoco nadie puede tener un escaño más -ya que el total de los escaños repartidos ha de ser el mismo, o sea, la suma de los escaños de cada partido- y entonces el reparto de escaños sería el mismo) y al menos otro partido ha de tener algún escaño más (por el mismo razonamiento). Si el coste de escaños es 'X' con el método D'Hondt y 'Z' con el nuevo sistema de reparto, 'X' no puede ser igual a 'Z', porque habría producido el mismo reparto; si 'X' es menor que 'Z', tomemos uno de los partidos que tienen más escaños con el nuevo sistema y dividamoslo entre 'X', tiene que dar un cociente igual o mayor que dividido entre 'Z' y sin embargo hemos dicho que con D'Hondt ese partido tenía menos escaños, o sea, que daba menos dividido entre 'X', lo que implica contradicción. Se llega a una contradicción parecida si 'X' es mayor que 'Z', tomando un partido que tenga menos escaños con el nuevo sistema.

Hemos logrado con esto un método que nos otorga siempre un reparto de escaños (que existe y es único) con equitatividad del coste del escaño. Aunque la "cifra distribuidora" no es única, en realidad hay todo un intervalo dentro del cual vale cualquier número para que el reparto de escaños (que es lo que nos importa) sea el mismo. Un número más grande que los del intervalo nos daría un reparto en el que sobran escaños sin repartir y uno más pequeño haría que se repartiesen más escaños de los que hay. El intervalo es (k,m] donde k es la última cifra verde para repartir n+1 escaños (k o un número menor repartiría más de n escaños) y m la de repartir n escaños (un número mayor repartiría menos de n escaños), suele tomarse m como cifra distribuidora para simplificar los cálculos. En nuestro ejemplo el intervalo es (85.000, 93.333] y como puede verse un numero mayor de 93.333 le quitaría a B su tercer escaño y 85.000 o un número menor le daría a A el cuarto.

El algoritmo manual que he descrito (con sus dos variantes) nos proporciona una de las posibles "cifras distribuidoras" y el único reparto de escaños posible, pero hallar directamente una "cifra distribuidora" a base de elegir un número al azar y subirlo o bajarlo hasta entrar en el intervalo en el que se reparte el número exacto de escaños que queremos nos daría el mismo reparto y sería otra forma de implementar D'Hondt, un algoritmo mecánico, como el que he programado yo en código 'C', programa que estoy dispuesto a compartir con quien lo desee, muy útil para simulaciones por ordenador o conteo automático de escaños.

Debido a las propiedades de este sistema, muchos países lo han adoptado para sus elecciones legislativas, pero algunos de ello lo han "corregido" de múltiples formas, como es el caso de España que lo utiliza para las elecciones municipales, regionales, al congreso nacional y europeas. Por ello en la siguiente entrada trataré correcciones reales aplicadas a este sistema electoral.

2 comentarios:

  1. Hola
    Muy bueno tu artículo. En mi blog puedes bajar la teoría y el simulador en excel y juega con el sin problema.

    www.bolivarlojan.blogspot.com

    Me comentas

    Buen camino

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  2. No había visto tu mensaje. Veo que tienes un blog muy interesante.

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